渗透思想方法 促进中小衔接

                               周丹蓉

日本数学史家米山国藏在他得著作《数学的精神、思想和方法》中说道：不管他们（指学生）从事什么业务工作，即使把所教给的知识（概念、定理、法则和公式等）全忘了，唯有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作用，使他们受益终生.随着社会的发展，要想实现“终身学习”和“人的可持续发展”，重要的是在教育中发展学生的能力，使之掌握获得知识和进一步学习的方法，逐渐掌握蕴涵在知识内的数学思想方法.只有这样，才能使学生真正感受到数学的价值和力量.

随着基础教育教学改革的不断深入，中小学衔接已经是一个刻不容缓的问题.数学知识的学习关键在于数学思想方法的学习，因此要使小学生能顺利、平稳过渡到初中的学习，使他们在学习数学中各方面都得到锻炼与发展，关键是要在数学教学中渗透数学思想方法，提高学生的学习能力和学习品质.下面就数形结合思想、分类讨论思想和特殊与一般思想谈一谈实践中的想法.

一、数形结合思想

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”数与形是数学研究的主要对象，两者之间有着密切的联系，数形结合的思想是数学学习中最基本的思想方法之一.很多数与式的问题可以借助于图形来揭示，图形问题又可以借助于数字规律来解决.

1、“数”辅助“形”，可以将“数”形象化

“数”辅助“形”是指借助代数知识，对图形中的数量关系进行研究.不管是小学中的图形大小的比较等几何的学习，还是初中的函数图像的性质等问题，都可以借助“数”来解决.

2、“形”辅助“数”，可以将“数”直观化

“形”辅助“数”是指以形象的图形来解决抽象的“数”的问题.小学生的抽象思维能力比较弱，所以教材中很多问题都是通过图形这个直观的手段来帮助学生理解的.从最初的数的认识、借助直线理解数的顺序、数的加减乘除计算以及后面的解决问题的策略等内容教材都设计了丰富的图形实例来帮助学生理解.中学的数轴是数形结合的工具，绝对值的几何意义、不等式的解集等都可以借助于数轴来解决，行程类应用题可借助于画线段图或者列表格来找等量关系.

例1 梅山小学有一块长方形花圃，长8米.在修建校园时，花圃的长增加了3米，这样花圃的面积就增加了18平方米.原来花圃的面积是多少平方米?

【思路点拨】可以根据题目的条件和问题，画出如下示意图：

要求原来的面积必须知道原来的长和宽，原来的长知道，只要求原来的宽.原来的宽也是增加部分的长，通过增加的面积除以增加的宽求出.算式是：18÷3=6（米）， 6×8=48（平方米）.

【方法总结】直接看文字叙述，往往不能直接看出几个量之间的关系，用画图的方法整理信息，将数与形的意义对应起来，就能解决问题.中小学都有类似的与面积有关的问题、行程类问题，要有效做好中小学衔接，小学时要逐渐渗透数形结合的思想，让学生体会到画图确实是解决这类问题的好方法，并形成自己解决这类问题的策略，那么到中学遇到类似问题时就能主动而有效的利用画图的方法，使画图策略成为学生解决问题的自觉需要.

数形结合思想的熟练掌握，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，可以促使抽象思维和形象思维完美结合起来.

二、分类讨论思想

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论时要注意不重不漏.

1、代数类

小学对于数的认知主要是在有理数范围，初中对数的范围进行扩充，引入了负数和无理数，是在实数范围内研究的.有理数可以分为整数和分数，按照正负分有可以分为正有理数、负有理数和0；整数按能否被2整除可以分为奇数和偶数，若按正负来分又可以分成正整数、负整数和0……对这些数分类的正确掌握对后续绝对值、数轴、不等式、坐标、函数等知识的学习有着重要的作用.

2、几何类

几何图形中的分类也很常见.如多边形按边数的不同可以分为三角形、四边形、五边形……；三角形按最大的一个内角来分可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，按三边关系分又可分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又可根据底与腰是否相等分为等边三角形和底与腰不相等的等腰三角形……这些知识的正确掌握对后续学习平面图形、立体图形、函数与几何的综合题有着重要的作用.

例2 ⑴等腰三角形的一边长为2，另一边长为5，则这个等腰三角形的周长为______________________;

    ⑵等腰三角形的一个内角为40°，则另外两个角的度数为______________________.

【思路点拨】第⑴题要求周长，必须知道三边长，若2为等腰三角形的腰，则5为底，那么三边长为2、2、5,因为2+2＜5，所以不能组成三角形，所以不合题意，舍去；若5为等腰三角形的腰，则2为底，那么三边长为5、5、2，能组成三角形，所以周长为5+5+2=12.

第⑵题中，当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角为(180°-40°)÷2=70°，此时另两个角的度数为70°、70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，顶角为180°-40°×2=100°，此时另两个角的度数为40°、100°.

【方法总结】这两类题是等腰三角形中常见题型，若已知等腰三角形的一条边，那么要考虑这条边是底还是腰，要注意结合三角形两边之和大于第三边来判断；若已知等腰三角形的一个内角，则要考虑这个角是顶角还是底角.有时当等腰三角形的形状不确定时，还要考虑等腰三角形的顶角是锐角、直角还是钝角.

3、综合类

在概率统计中，对于数据的分类、排列组合也要用到分类讨论，中学里的相似常常会因为对应顶点的不同而引起分类讨论，运动问题中也通常与三角形、四边形、函数的有关知识相结合导致需要分类讨论，这些对学生审题提出了很高的要求，所以从小学开始就要教会学生学会审题.

《课程标准》要求学生能够有条理地思考，分类讨论思想正是培养学生有序、全面思考问题的方法，更是提高学生思维品质的一种方法.因此，从一年级上册物体的分类开始就要够渗透分类讨论思想，让学生感受分类的必要性和思考问题的有序性.

三、特殊与一般思想

人们认识世界总是从特殊到一般，再从一般到特殊，数学研究也不例外，对于一个数学问题，如果直接解决存在困难，可以考虑用特殊的问题或一个更一般的问题来寻求结论.对于一般情况下难以求解的问题，可以运用特殊化思想，通过取特殊值、特殊图形等，找到解题的规律和方法，进而推广到一般情况，从而使问题顺利求解.

1、用“特殊化”的思想解填空选择题

“特殊”能在一定范围内反映或体现“一般”.由于填空、选择题不要求严密完整的推理过程，若能用特殊化进行探索、猜想、验证，可以使解题过程简单，思路敏捷，获取答案快速而且准确.用特殊化方法解填空、选择题的理论依据和逻辑基础是：若一般情况下成立，那么其包含于题目中的特殊情况也成立，这是一种巧法.

例3 （2012?常州中考题）已知、、、都是正实数，且，给出下列四个不等式：

①；②；③；④

其中不等式正确的是（　　）

A．①③     B．①④    C．②④      D．②③

【思路点拨】这道题目要判断的四个不等式很“庞大”，用特殊值法可达到“秒杀”的效果.因为，所以只要取符合条件的、、、的值，如,=1、=2、=3、=4，代入各式即可判断不等式的正误.故本题应选A.

【方法总结】在利用特殊化的方法解决问题时需要注意以下几点：（1）题目的答案必须是唯一确定的；（2）特殊值的选取必须符合题设条件；（3）特殊值的选取应尽可能简单，以便运算和比较.

2、用“特殊到一般”的思想解题

中小学数学中有一部分结论都是由特殊例子抽象概括出本质特征得到的，比如说一些法则、公式、性质、运算律等，这些都是特殊到一般思想的应用.这个方法也可以应用在解题中.

例4用小棒摆如图所示的图案：

搭1个正方形，用了______根小棒；搭2个正方形，用了______根小棒；搭3个正方形，用了______根小棒；……搭5个正方形用小棒的根数是____________；搭n个正方形用小棒的根数是____________；搭200个正方形用小棒的根数是_____________.

【思路点拨】通过给出的图形，可以知道搭1个正方形，用了4根小棒；搭2个正方形，用了7根小棒；搭3个正方形，用了10根小棒；搭4个正方形，用了13根小棒，由此找到规律：每多搭一个正方形，多用3根小棒，所以搭5个正方形，用了16根小棒，搭n个正方形所用小棒根数是4+3（n-1）=3n+1,当n=200时，3n+1=3×200+1=601根.本题思考的方法不止一种，除了从数字方面来找规律，还可以从图形的构成上来找规律，化简后的最后结果是一样的.可以让学生从不同角度来找规律.

【方法总结】解决这类题目的方法是从简单、特殊、具体情形出发，通过特殊情况的研究，归纳出一般结论，再用一般结论解决其他特殊情况.

特殊与一般思想贯穿于整个数学学习中，小学生相对来说抽象思维能力不高，探索规律的过程很多都是不完全归纳的过程，要重视学生探索的这个过程，重视合情推理，为初中的演绎推理打好基础.

在中小学数学教学中，思想方法还有很多，比如类比的思想、建模思想、方程思想等，它蕴含在整个知识体系中.德国数学家希尔伯特曾说过：“问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂.”数学思想是数学的精髓，研究中小学衔接，数学思想的衔接尤其重要，教师在平时的教学中要注重思想方法的渗透，使学生在潜移默化中学习数学知识，并掌握其中的思想方法，促进学生数学学习的可持续发展.