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经典趣味数学—蛙跳问题

来源：转载发布人：许琴发布时间：2009-12-22 浏览次数：

经典趣味数学—蛙跳问题

一、问题的描述

网络上流行一个经典的趣味智力游戏—蛙跳游戏（frog leap game）。要求一个人在3分钟内，用最少的步数将左右两边的3只青蛙交换位置。两边的青蛙中间隔着一个空档，每只青蛙的每次跳跃只能跳在空档处，或者跳过一只青蛙后落在空档处。青蛙也不能往回跳。

初始位置	青蛙3	青蛙2	青蛙1		青蛙A	青蛙B	青蛙C
完成位置	青蛙A	青蛙B	青蛙C		青蛙3	青蛙2	青蛙1

如果你无法在3分钟内完成，就说明你的智商小于75。

提供一个玩这个游戏的网址，。

当然，当青蛙数较少时，这是一个非常容易的问题。但是，当两边的青蛙数增多，比如100只时，青蛙该如何跳跃才能交换完位置呢？

现在，我们将问题推广一下：

如果两边的青蛙数分别为n只，双方交换完位置所需要的步数是多少，如何具体实现这些步骤？

更一般地，如果两边的青蛙数分别为n只和m只，双方交换完位置所需要的步数是多少？

二、简单的尝试

现在，我们来描述n=1，2，3的青蛙位置的情形。

为了方便，左右两边的青蛙分别标记为F1，F2,F3和Fa，Fb，Fc。空档处用※表示。

我们让左边的青蛙先跳。哪边的青蛙先跳不影响分析结果。

n=1时：

n=2时：

n=3时：

三、一般性规律

如果你继续尝试，你将得到青蛙的跳跃步数为

3，8，15，24，35，……，

这是一个高阶等差数列。

很容易发现，该数列的通项表达式为（n+1）^2－1。

该表达式的含义为，为完成位置交换，也就是每只青蛙都跳跃了（n+1）步，而最后一只青蛙少跳了一步。

对于两边青蛙数不对称的问题，即左右青蛙数分别为m,n时，完成位置交换所需要的步数为：

（m+1）（n+1）－1。

具体的实现步骤呢？

左右两边轮流跳跃，离开位置后的青蛙相互间隔，即达到最终位置前的途中，都不能与原来本边的青蛙相邻。

现在，你可以轻松地玩蛙跳游戏了。