变”与“不变”

——走近古代数学

链接教材：苏教版五上p16你知道吗

教学目标：

1、基于已有认知，理解《九章算术》三角形面积计算的方法，进一步感受转化的思想方法。

2、初步感受从特殊到一般的验证思路。

3、在迁移中生发出新的研究问题，并进行合理推理。

4、感受古代数学文化，进一步培养学习数学的兴趣。

教学设计：

一、问题导入

1.今天这节课咱们要和王老师一起上一节数学实践活动课，课的题目是变与不变，看了这样的题目有没有问题？

到底什么在变，什么不变，相信经过这节课的学习你一定会有深刻的感悟。咱们从我们熟悉的图形朋友开始我们的研究。

2.认识这些图形吗？

3.都是三角形，有区别吗？图形上看：锐角（等腰）三角形、直角三角形、钝角三角形。

4.会求它们的面积吗？需要知道什么条件？

5.不一样的三角形，我们在计算面积时有没有相同点？（统一的面积公式）（板书：底×高÷2）

6．我们学习知识，要知其然，还要知其所以然。还记得我们是用什么方法推导出三角形的面积公式的？（用两个完全一样的三角形拼成一个等底等高的平行四边形。）

二、解读古算

（一）理解算理

1．我们把两个完全一样的三角形转化成一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式推导出三角形的面积。你们有没有想过，咱们中国的古人是怎样来求三角形的面积的吗？

2.早在2000多年前，我国的《九章算术》一书中就记载了关于面积计算的内容，其中就有关于三角形面积的算法，出示ppt。古人是怎样计算的呢，我们不妨边读边思考。

3.看了这一段话，你有什么想说的？也可以说说你的疑问。

4．问题是数学的心脏。带着这些问题我们不妨读一读数学书16页上的“你知道吗？”。

5.你能理解吗？和同桌说说你的想法。

谁愿意和大家分享你的理解：

(1)半广、正从；半广乘正从；以盈补虚（以盈补虚体现了什么数学方法？转化成什么？怎么转化的？）。

(2)设问：为什么盈刚好能补虚呢？（观察：盈与虚部分面积相等，那分割的点必须在腰的中点）

（3）那么半广在哪？（学生指出）为什么是底的一半？

（4）解读到现在，刘徽注解的这幅静态画面我相信在你的头脑中已经成为了动态的画面。给你一个这样的等腰三角形，你能让它动起来吗？

（5）电脑演示可能看的更加清晰。媒体演示操作过程。是这样吗？在这个过程中，什么在变？什么不变？

6. 看来“半广以乘正从”适用于老师的等腰三角形，那么其他的三角形呢？空口白话似乎没有足够的说服力，我们最好——动手试一试。

请三组同学说一说，虽然我们选择的三角形大小不同形状不同，但都可以以盈补虚转化成一个长方形。每一个面积都可以用半广以乘正从来计算

7．如果把古代文言文翻译成现代数学语言，就是——板书： “底÷2×高”

（二）对比观察

1.讨论：观察两个算式，你有没有新的想法？

2.“半从以乘正广”同样适用。

（板书：底×（高÷2））为什么？

如果刘徽要为这个公式作注解，会是怎样的图示呢？选择一个三角形再试一试。

以盈补虚，出入相补，补成的图形一定要是长方形吗？能不能转化成其他图形？

变化的是形状，不变的是面积

三、应用延伸

1.三角形的面积计算可以以盈补虚，转化成长方形或者平行四边形，这样的过程对于研究其他平面图形有没有帮助？比如，可以借用这样的方法研究梯形。

2.同学们自己仿照刚才的讨论过程去探索看梯形面积是否也能用这种方法验证？

3.运用媒体演示交流两种推导方法。（上底+下底）÷2×高 （上底+下底）×高÷2

变化的是图形，不变的是思想

四、拓展阅读

在变与不变中，我们感受到了数学的内涵与数学的魅力。

早在2000多年前，古人就在土地面积的测量中用以盈补虚的方法探究了各种常用图形的面积。

1.古算今读

「九章算术」卷一「方田章」

(一)长方形（直田）：「广从步数相乘（得积步）」。

(二)等腰三角形（圭田）：「半广以乘正从」。

(三)梯形（邪田）：「并两邪而半之，以乘正从」。

(四)圆形（圆田）：「半周半径相乘」。

(五)环形（环田）：「并中外周而半之，以径乘之」。

2.古题今算

（1）今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？

答曰：一百二十六步。

（2）今有邪田，一头广三十步，一头广二十步，正从十二步。问为田几何？

答曰：三百步。

五、全课总结

跨越2000多年，变化的是表达的语言，不变的是研究的方法、研究的态度与研究的热情。今天的这节数学综合实践活动课，有收获吗？