关键词:
钉子板上的多边形


教学内容:五年级上册p108-109探索规律“钉子板上的多边形”

教学目标:

1.使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积,与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系,并尝试用字母式子表示关系。

2.使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程,体会规律的复杂性和全面性,体会归纳思维,体会用字母表示关系的简洁性,发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。

3.使学生获得探索规律成功的体验,树立学习数学的自信心,感受数学规律的奇妙,对数学产生好奇心,提高学习数学的兴趣和积极性。

教学重点:探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学难点:综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系

教学过程:

一、问题引入,揭示课题

1.谈话:出示一个图形,问:认识图形吗? 它的面积跟什么有关?

2.把它放到方格纸上,它的面积跟什么有关?

3.如果把它放到钉子板上,那它的图形又跟什么有关呢?(什么地方的钉子有关?指出图形边上的钉子数)

4.揭示课题:钉子板上的多边形

【设计意图:上课前,教师一般都要与学生进行课前交谈,这看似简单、多余,其实是不可或缺的环节之一。经验告诉我们,如果能合理有效的运用课前谈话,不仅能调动学生的积极性,更能为新课的教学埋下伏笔,做好铺垫。

二、分层探索,发现规律

1.出示一组钉子板上的多边形,让学生来算一算、数一数,完成表格的填写。

2.请同学们仔细观察表格,说一说你发现了什么?谁会用简洁的语言来表述一下。

   如果我们用S来表示多边形的面积,n来表示多边形边上钉子数,你怎么用字母公式来表示?

3.这个关系“S=n÷2”,告诉我拼命,只要抓住“多边形边上的钉子数n”,就能够求出“多边形的面积”,这个发现是不是适合每一个多边形呢?让我们一起再来试一试。

4.出示练习纸一:

(1)学生独立完成  (2)小组交流,你发现了什么问题?

5.学生汇报。(仔细观察两组图,说一说这两组图形在面积和边上钉子数发生变化的情况下,有谁没有变?)

6.小结:第一行符合规律的多边形内部的钉子数都为1,第二行多边形内部的钉子数都不是1。这说明多边形的面积不仅和多边形的钉子数有关,还与多边形内部的钉子数有关。刚才我们只是研究了内部钉子数为1的情况。

【设计意图:从以前的多边形面积计算的公式,过渡到看多边形内部和边上的钉子数来算他们的面积,唤醒了学生的旧知,激活了学生的思维,同时对新知的探究产生了兴趣,主动学习、发现规律。】

三、继续研究,拓展认识

1.提出问题,引发思考。

引导:如果多边形内部都有2枚钉子,多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢?现在请大家进一步观察,数一数、比一比,看看有没有规律。

2.小组合作,探究规律。

引导:现在请你们四人小组合作,按照下面的办法研究多边形的面积。

出示活动要求:

(1)每人围一个或画一个内部有2枚钉子的多边形,数出边上的钉子数,算出它的面积;

(2)每人把获得的数据在小组内交流,并记录在课本第109页的表格里;

(3)观察表格中的数据,小组讨论交流:你有什么发现?

学生操作、填表、比较、思考,教师巡视。

3.交流引导,发现规律。

出示表格,指名学生交流结果,在表格里呈现。

引导:我们刚才已经知道,这里的面积不等于n÷2,但和n÷2有点什么关系吗?同桌互相讨论,看看有什么发现。

提问:通过数据比较,你有什么发现?

小结:通过这里的多边形的比较,可以发现,当多边形内部钉子数a=2时,面积S=n÷2+1。(板书:a=2  S=n÷2+1)

【设计意图:《小学数学新课程标准》指出:数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。在教学“多边形内有2枚钉子”时,教师充分遵循了学生的认知发展规律。首先让学生猜一猜多边形的面积和多边形边上的钉子数的关系,然后再组织学生数一数、算一算,再在小组里议一议,看看又有什么不同的发现,。整个教学过程通过学生猜测、独立思考,再到小组的对比、发现,由浅入深,教学重、难点突破到位,有效推动了学生的思维逐步走向深入。】

四、引导猜想,概括规律

1.引发学生猜想。

 钉子板上多边形内部的钉子数可以是1,也可以是2,还可以是3或者4…,那这个多边形的面积和它边上的钉子数又会有什么关系呢?谁来猜想一下!

2.画图举例,验证猜想。

让学生在点子图上画出图形,验证上面的猜想。

交流:你画出的是怎样的图形,验证的结果有什么结论?(指名学生呈现图形验证结论)

确认:当多边形内钉子数是3时,面积S就等于n÷2+2 。(擦除上面板书中的“?”)

追问:现在我们又有什么发现?

3.拓展延伸,揭示规律。

引导学生观察关系式:a=1  S=n÷2

a=2  S=n÷2+1   a=3  S=n÷2+2

引导:你觉得如果a=4,会有什么规律?a=5呢?

那你能任选一个a等于几,画一画、算一算来验证吗?自己画图验证。指名学生交流,呈现不同例子的图形用数据验证,并板书关系式。

提问:你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗?

指出:如果用a表示多边形内部的钉子数,n表示多边形边上的钉子数,那么,多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2,再加上内部的钉子数a,然后减1。(板书:S=n÷2+a-1)

4.适当介绍,拓展视野。

说明:我们今天研究的规律,就是数学上著名的皮克定理(适当介绍)。有兴趣的同学,可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求,那记住这本书:闵酮鹤的著作《格点和面积》,以后有兴趣、有条件了,可以去阅读。(演示一些图形,适当拓展)

【设计意图:这一板块主要是学生对本课学习内容的理解和应用,在内容上力求由易到难,由浅入深,形式上有动态的活动更有动态的思维。同时把适当的训练用符合儿童特征的方式去达成,不仅有效地保护了学生学习数学的积极性,更注意了学生解决问题能力的培养,丰富与拓展了本课的重要要素,使学生学得更为扎实。】

五、回顾过程,交流体会

提问:回顾刚才探索和发现规律的过程,你有什么体会和收获?

追问:还有什么疑问吗?

小结:今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中,我们从简单情形入手,通过画一画、数一数、算一算等方法,经历观察、比较、猜想、验证等活动,发现了规律。从上面的过程中我们发现,要从各种不同情况的多边形中研究,要善于发现不同多边形中的共同点,比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉;发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时,一定要注意认真观察、反复比较,举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子,它具有简洁、明了、易记的特点。

【设计意图:在进行全课小结时,教师注意了前后知识的沟通和体会,帮助学生形成完整的知识体系。

 




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