一、导入：

师：同学们，我们已经认识很多平面图形，今天老师也带来一些生活中建筑设计图案，一起来欣赏。
师：通过观察这些建筑的设计，你看到了什么？有什么感受呢？
（建筑都有方形或者圆形组成。）

师：嗯，很善于观察。还有谁来说？
（我发现方形和圆形组合在一起很漂亮。）
师：是啊，方形和圆形是美学的基本构图，也是建筑的基本构图。设计师通过方圆的灵活组合，创造出了许多经典的作品。

同学们请看，这是我们美术陆老师的两幅书法作品，一幅是（圆形的），另一幅是（方形）。如果请你当设计师，你准备怎样装裱？

（我会给圆形的书法作品套上一个方形的外框。）

师：那正方形的作品呢？（套上一个圆形的画框。）你们（其他同学）认为呢？

师：有道理，看来方圆设计的思想已经播种在你们的心间了。陆老师也受到方圆设计的启发，她就是这样装裱的。

请同学们仔细观察，这两幅装裱后的书法作品有什么特点，它们之间有什么相同和不同的地方？

（第一个图形是外方内圆，第二个图形是外圆内方。）

师：你的概括能力可真强。（PPT上显示名称，并板书：外方内圆  外圆内方 ）
生：我发现第一幅图中圆是正方形中最大的圆，第二幅图中正方形是圆内最大的正方形。
师：是这样吗？（是的）

你观察的真仔细。如果陆老师告诉我们下面两幅作品中，圆的半径都是1分米，可以求出圆的面积，那你还能想到求什么问题呢？
师：嗯，装裱部分的面积就是哪一部分面积？（红色部分）很好，刚才同学们敢于提问题，问题都提得很有价值，那我们一起来挑战一个难度最大的好吗？（好）

师：先来猜一猜这两幅作品中哪个装裱部分的面积大？
师：究竟谁说的对？我们一起来解决这个问题。（板书课题：解决问题）

二、探究：

为了便于研究，我们抽象出它的数学图形，大家赶紧帮陆老师把抽象后的数学图形画出来。请看活动要求，谁来读一读。

出示：操作小能手

1.画一画：标出已知条件r=1dm。

2.涂一涂：将正方形和圆之间的部分表示出来。

3.想一想：圆的半径和正方形之间有怎样的关系？
师：请同学们拿出学习单，完成我会画和我发现。

师：时间到。谁来展示一下你的作品。

（强调：画辅助线是学习数学的一个非常好的方法）

师：通过画一画，涂一涂，你发现圆的半径和正方形之间有怎样的关系？
（左边：圆半径的长度相当于这个正方形的边长的一半。）
（而右边这个圆的半径相当于这个正方形对角线的一半。）
师：谢谢这位同学的分想。通过刚才的操作活动，现在你会求装裱部分的面积的吗？

请同学们继续完成学习单的我会算，遇到困难可以主动请教老师或本组同学。完成后请小组长选出本组最优作品，我们比一比哪个小组完成的又快又好。好，请开始。
师：现在哪个小组来介绍一下外方内圆（左边图形）的装裱面积？
师：那外圆内方（右边）的装裱部分面积呢，哪个小组愿意来介绍？

师：还有不同的方法吗？
师：请同学们把眼光聚焦到右边的图形，要求这个图形中装裱部分的面积关键是什么？你来说，（正方形的面积还有圆的面积。）
师：哪一个图形的面积最难求，嗯，大声的说。
（就是那个正方形的面积。）
师：好，那就让我们回顾一下刚才的两种方法，第一种方法是将正方形分成四个三角形，三角形以直角边分别做底和高，长度都是半径1分米。第二种方法是将正方形分成两个三角形的高是圆的半径，三角形的底是圆的直径。对比两种不同的方法，它们的共同之处是什么？请你说。
（他们都画了辅助线）（还运用到了转化的方法，把正方形转化成了三角形。）
师：你说的真好，转化是数学中非常重要的解决问题的策略。

现在通过计算，我们发现哪个图形装裱部分的面积大一些？

师：我们通过小组合作，同伴互助计算出了两幅作品装裱部分的面积，还知道哪幅作品装裱面积大。那是不是所有这样的图形中都是外圆内方的涂色部分比外方内圆的涂色部分面积大呢？

你们打算怎样研究这个问题？
（我们可以取一个半径值，然后把结果计算出来，寻找它的规律。）
师：你们同意吗？那你们组想取半径多少？

师：好，现在就请各组自选半径，分工合作，开始吧。
师：来，同学们，这就是你们研究的数据？真是厉害。把掌声送给自己，我们知道通过一组数据不能够发现其中的规律，只有通过多组数据的分析比较才可以探究出其中的规律。

仔细观察这些数据，你发现了什么？

师：谁来上来说一说。

生1：通过多组数据的比较，我们发现的确外方内圆的阴影部分比较大

生2：大正方形的面积总是小正方形面积的2倍

生3：这几个图形面积的比是4：π：2
师：如果我们这样举例，举得完吗，那有没有一个数能够表示所有的半径？好，请你说。（我觉得可以用 r 来表示。）
好，那我们一起把他的智慧在板书上呈现出来。（板书列式）

演示：当半径为 r 的时候。正方形的边长就是2r。（逐一展示两种图形涂色部分面积计算）

那究竟这两个数量关系是对不对？我们找一个半径值来验证一下好不好？
    当半径是5分米时，代入验证（口头验证）

师：结果完全一致，非常厉害。同学们想一想，之前我们是用正方形和圆之间的面积差来求方圆之间的面积，现在我们通过探究出规律，发现可以直接用0.86r²和1.14r²来计算方圆之间阴影部分的面积。

三、应用：

师：同学们掌握了这一规律，接下来我们就来一组智力挑战吧，有没有信心？

1. 圆的半径是10cm,请快速计算两个图中阴影部分的面积。

2. 数学源于生活，用于生活。我们一起来看：陆老师又遇到了什么问题？
陆老师想做一张圆桌，她买了一个边长2.5米的方形木板，陆老师能用它做出最大面积为多少的圆桌？

3. 师：非常好，学以致用。更难的挑战来，刚才我们在方形木板中找到了最大的圆形，如果是在正方体中挖出最大的圆柱呢？圆柱的体积和正方体的体积之间又有什么联系呢？

师：请你来说一说，你的做法

四、总结：

师：真厉害，看来你们都是应用小能手啊。这节课里，同学们用数学的眼光发现问题，理解问题（ppt），用数学的思考分析问题，解答问题(ppt)，还在多组数据整理中探究出其中的规律(ppt)，并运用于生活(ppt)，老师要为你们的智慧点赞。在这个过程中，你有哪些收获和感受(ppt)？（通过今天的学习，我知道了如何求外方内圆和外圆内方的阴影部分面积。）
师：众人拾柴火焰高，同学之间互帮互助，会让我们的力量更强大，做事的效率就更高。

五、延伸：

师：方与圆的结合在生活中的应用非常广泛。我们一起来看一段有趣的视频。
师：通过视频我们也可以看到，这辆奇葩的自行车行驶飞快，而且十分平稳。
这就是方与圆完美的结合。

古代盖天说认为天是圆的，地是方的，方圆就在天地之间，如同圆形的棋子落入方形的棋盘之中。方圆便演绎人生，没有规矩，不成方圆。方是为人之本，圆是成功之道，人生就是一门方与圆平衡的艺术。

我们今天的课就到这里，下课。