§6．1函数（第1课时）

一、教学目标

1．知识与能力

（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；

（2）结合实例，了解函数的概念，并能举出函数的实例．

2．过程与方法

（1）经历从具体实例抽象出函数概念的过程，体会变化与对应的数学思想；

（2）会判断两个变量之间的关系是否可看作函数关系．

3．情感、态度与价值观

（1）在探索函数概念的过程中，体会数学的应用价值，感受成功的喜悦，增强学习的兴趣和学好数学的信心；

（2）在探索函数概念的过程中，体会事物之间相互联系并不断运动、变化、发展的哲学思想．

二、教学重点、难点

1．教学重点

（1）结合实例，了解函数的概念以及自变量的意义；

（2）会判断两个变量之间的关系是否可看作函数关系．

2．教学难点

（1）从具体实例中，抽象概括出函数的本质属性；

（2）理解函数的概念中的“对应关系”．

三、教学过程

（一）创设问题情境，明确研究方向

同学们，我们共同生活在一个日新月异的世界里，在我们身边到处充满着变化.比如：你的身高随着年龄的变化而变化，我国的人口随着时间的变化而变化，气温随海拔的变化而变化.像这样，一个量随另一个量的变化而变化的现象在生产、生活中是大量存在的.

引例1  古代文明：沙漏是如何计时的？

引例2  现代文明：北京时间2013年6月13日13时18分，天宫一号目标飞行器与神舟十号飞船成功实现自动交会对接．天宫一号目标飞行器与神舟十号飞船为什么能实现自动交会对接呢？

从这两个例子可以看出：如果我们能从数学的角度研究这些变化的量，讨论它们之间的关系，把握它们变化的规律，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来.

当然，生活中这样的变化是极其复杂的. 各种变化的量交织在一起，错综复杂，难以入手. 但是面对这样的困境，我们不能畏而止步，而要迎难而上. 那么我们怎么研究呢？还记得当初我们是怎样研究方程的吗？我们先研究最简单的一元一次方程，再研究二元一次方程、分式方程等等，在这里我们同样按照“从简单到复杂”的研究思路，从最简单的情形研究起.

（设计意图：从生活实际出发，通过师生的对话交流，让学生意识到研究“变量”的必要性和重要性：在生产生活中存在大量变化的量，如果我们能从数学的角度研究它们，讨论它们之间的关系，把握它们变化的规律，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来．同时有意识地指明按照“从简单到复杂”研究思路展开研究，激发学生的探究兴趣和欲望．）

（二）初步感受变化，引入变量概念

实例1  一辆列车匀速从常州驶向南京，在这个运动的过程中，涉及到了哪些数量？其中，哪些量没有变化？哪些量不断变化？

由此，引进概念：在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量．

（设计意图：通过简单实例（票房收入问题和列车行程问题），引导学生初步感受生活中的变化，体会不变的量和变化的量，引进常量和变量的概念．）

（三）探究变化规律，提炼函数模型

实例2  新中国成立以来，我国已经进行了六次人口普查． 下表是我国六次人口普查的人口数统计表．

（1）在这一变化过程中，有哪几个变量？

（2）1953年，中国人口数为多少？2010年，中国人口数为多少？

（3）在这一变化过程中，两个变量之间的有怎样的依存关系？（从三个层次回答）

实例3  在一根弹簧的下端悬挂重物，在弹簧的弹性限度内，每1kg重物使弹簧伸长0．5cm． 弹簧原长10cm，设重物质量为mkg,受力后的弹簧长度为lcm． 

（1）在这一变化过程中，有哪几个变量？

（2）你能用m表示l吗？当m=1时，l为多少？当m=3时，l为多少？

（3）在这一变化过程中，两个变量之间的有怎样的关系？

实例4  下图是某地一天的气温变化图象．

（1）在这一变化过程中，有几个变量？

（2）任意给出这天中的某一时刻t，你能说

出这一时刻的气温T吗？

（3）在这一变化过程中，两个变量之间的

有怎样的关系？

思考：在上述的三个变化过程，有怎样的共同之处呢？

先小组交流，再大班展示，最后师生共同总结出三个要点：（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）特殊对应关系（一个变量确定时，另一个变量也随着唯一确定）．

（设计意图：借助表格、表达式、图象三种形式呈现典型的实例，引导学生体会它们的共同点“在每个变化过程中，两个变量之间的特殊对应关系”，为提炼出函数概念作好准备．）

（四）界定函数概念，剖析函数表述

这三个素材内容是不同的，呈现的形式也是不同的，但它们具有很多共同属性．生活中像这样的现象很多，为了很好的刻画像这样的“两个变量之间的对应关系”，数学上又引入了一个新的模型——函数．

    1．教师规范表达，学生尝试复述． 一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数．其中，x是自变量．

    2．紧扣“关键词”，剖析函数概念．在抓住“三个要点”的同时，通过解读“每一个值”、“唯一的值”、“对应”等关键词的含义，引导学生真正理解两个变量间的单值对应关系．

3．（1）在学习并理解了函数这一概念后，同学们举出了一些函数的实例，比如：小明说：“正方体的棱长为a，正方形的体积v是长a的函数”；小亮说：“长方体的长为a，宽为b，高为4，长方形的体积v是长a的函数” ．你认为他们说的正确吗？为什么？

（2）仿照范例，自己编一个表示函数关系的实例．（学生先独立完成，再小组交流，最后大班展示．）

（设计意图：在提炼实例共同属性的基础上，引进函数模型，并通过从正反两方面举例的方式引导学生初步理解函数的概念．）

（五）介绍函数历史，促进理解函数

“函数”是一个转译词，在英文中的原单词是function． 最早是由莱布尼兹提出，后来经过约翰?贝努利、欧拉、柯西等许多数学家的改进加工，才逐渐完善发展成今天这样的概念．“函数”一词，在我国最早是由清代数学家李善兰提出的，“凡此变数函彼变数，则此为彼之函数”． 这里的“函”有包含的意思．

（设计意图：介绍函数的数学史，促进学生对函数概念的理解，激发学生的研究兴趣．）

（六）精心剖析例题，巩固函数概念

例1  用一根1m长的铁丝围成一个长方形．

（1）当长方形的宽为0．1m时，长为多少m？

（2）当长方形的宽为0．2m时，长为多少m？

（3）当长方形的宽为 a m时，长为多少m？

（4）长方形的长y(m)是宽 x (m)的函数吗？为什么？

例2  根据表格中的信息，回答问题：其中，x表示乘公交车的站数（站），y表示相应付的票价（元）．

（1）y是x的函数吗?为什么？

（2）x是y的函数吗?为什么？

（设计意图：通过对典型例题的精心剖析，判断两个变量之间的关系是不是函数关系，内化对函数概念的理解．）

（七）课堂回顾总结，畅谈学习感悟

1．本节课，我们经历了怎样的过程？你有哪些收获？

2．本节课，你感受最深的是什么？还有哪些困惑？

3．课后你准备对哪些方面进行进一步的研究？

（设计意图：有意识地引导学生悟一悟对函数概念的理解，并启发学生下一步对函数的研究方向．）

（八）分层布置作业，促进分层提高

1．必做题：教材第138页练习题1、2；

2．选做题：查阅函数的发展历史．

（设计意图：分层布置作业，体现因材施教的思想，努力做到让不同的学生得到不同的发展．）