午餐后，老师们三三两两地在操场上散步，大都有意无意地选择走环形跑道的最内圈。为什么不走最外圈呢？要说散步锻炼，多走几步岂不更好？

美学家朱光潜先生在《朝抵抗力最大的路径走》一文中讲到：“世间大多数人仍是惰性大于意志力，欢喜朝抵抗力最低的路径走……在立身处世的任何方面，贪懒取巧都不会有大成就，要有大成就，必定朝抵抗力最大的路径走。”

教学何尝不如此！易教之法，无非讲题、刷题，但学生难以下咽，容易消化不良；而难教之法，师者为觅得某个法子，常夙兴夜寐，辗转反侧，却因此成就了“学”，学生有兴致，沉浸其中，三月不知肉味。

教学“用字母表示数”时，常见到这样的习题：“一个两位数，十位上的数是a，个位上的数是b。用含有字母的式子表示这个两位数是（  ）。” 笔者任教的班级有46名学生，解答这道题时一共有14人把结果写成“ab”，错误率达30.4%。该如何帮助学生纠错呢？

一、易教之法

典型错例，往往是教学之失，教没有想在学的前面，将学简单化。易教之法，在学生犯错之后，把根源归结于学，三言两语就想把错误快速打发。

环节（1）：教师呈现错例，清点错误人数，要求学生说说错在哪里。

环节（2）：告诉学生，因为字母式“ab”表示“a×b”，所以不能用此式表示相应的两位数。

环节（3）：通过讨论明确，正确的表达式是“10a+b”，因为“十位上a表示a个十”。

“听懂了吗？”——学生都会意地点点头。于是，纠错之旅完成！

这就是典型地成人化视角，简单化处理。“a”在十位上，表示的是“10a”；“b”在个位上，表示的就是“b”，用“10a+b”表示相应的两位数似乎也就顺理成章了。只不过，在儿童的世界里，上面这样的理解其实还是很抽象的。

二、难教之法

我们先来仔细分析一下学生学习“用字母表示数”的难点所在。

一是难在刚刚正式接触“用字母表示数”，学生尚未完成从算术思维向代数思维的跨越。两位数“23”，十位上写“2”，个位上写“3”，在学生的经验世界里纯熟无比，用这样的经验来解决新的问题也就“顺理成章”。由此，把“十位上的数是a，个位上的数是b”的两位数写成“ab”实属情理之中，因为这在他们的经验世界里这样的做法是自洽的、合理的。

二是难在十进位值制概念较为抽象，缺乏具象支撑。比如，“23”的“2”在十位上，学生都明白这个“2”表示2个十，写出来就是20，但如果用形如“2×10”的式子来表达，则缺乏相关的经验和训练，这就使得解决新问题所需要的经验基础有所欠缺、不够牢固。

三是难在学生尚不能自觉追问结果的适洽性。“ab”表示“a×b”，能表达题目所要求的两位数吗？即如“23”能表示成“2×3”吗？进一步，如果把这个两位数表示成“a+b”对不对呢？由此可见，学生身心发展的阶段性特点决定了其思考逻辑上必然有所欠缺。

教师要做的是引导学生分析“错理”，再通过相应的教学活动带领他们亲自蹚过这条错误之河。脱鞋袜，卷裤腿，赤足试水之深浅，手拉手相互扶持等，都是活动中的应有之义。基于此，笔者设计了如下的纠错流程。

环节（1）：要求学生快速用小棒摆出“23”，并说说相关摆法的道理。教师相机追问：“2”为什么摆成2捆，而“3”只需要摆3根呢？由此明确：“2”表示2个十，“3”表示3个一。当然，在备课中笔者也预设了学生分成两堆摆的情况。即如，在左边摆2根，右边摆3根。此时需要追问：左边的2根表示什么？用2根表示2个十合适吗？

环节（2）：要求学生在计数器上拨出“23”，并说出计数器上的“2颗珠”和“3颗珠”分别表示什么。由此追问：为什么这里表示“2个十”只要摆出2颗珠？帮助学生在交流中进一步体会位值制的简洁性和概括性。

环节（3）：结合小棒和数珠，体会“23”的组成。2个十用文字或符号又该怎样表示？6个十呢？3个一用文字或符号又该怎样表示？5个一呢？由此引出：2个十可以写成2×10，3个一可以写成是3×1。

环节（4）：引导归纳概括——几个十就用几乘十，几个百就用几乘一百，等等。进而指出“23”可表示成“2×10+3×1”。

环节（5）：纠正典型错例。“ab”应写成“10a+b”，并通过分析明确“ab”表示的是“a×b”，就像把“23”写成“2×3”，无论是从结果上看，还是从道理上讲，都是错的。

环节（6）：要求学生出题，师生共同理答。（具体如下）

师：你能出一道类似的习题考一考大家吗？

生1：一个两位数，十位上的数是b，个位上的数是a，可以怎样用字母式表示这个两位数？

生2：这个两位数应该表示成10b+a。我要提醒大家看清楚题目，十位上是b而不是a。

师：这个提醒很重要！

生1：一个三位数，百位上是x，十位上是y，个位上是z。这个三位数用字母式表示是什么样的？

生2：这个三位数应该表示成100x+10y+z——百位上的x表示x个百，应该写成100x。

师：能把前面学习的知识拓展到百位了，真不错！

生1：一个三位数，百位上是a，十位上是5，个位上是b。这个三位数可以用怎样的字母式来表示？

生2：这个三位数可以表示成100a+5×10+b，也可以简写成100a+50+b。

师：既有字母，也有数，题目有变化了。不过，刚才说的都是整数，小数也能用字母式表示吗？

生：一个小数，个位上的数是a，十分位上的数是b。这个小数用字母式表示就是a+0.1b。

师：能具体说说思考过程吗？

生：a在个位上，表示成a×1，就是a；b在十分位上，十分位的计数单位是十分之一，也是0.1，写成b×0.1，也就是0.1b；把两个数位上的数合起来就是a+0.1b。

师：此处应该有掌声！

生1：老师，“a+0.1b”能不能写成“a+b÷10”呢？

生2：一个数乘0.1，就等于这个数除以10，这样写是可以的。

生3：十分位的计数单位是0.1，就是把“1”平均分成10份，所以是可以的。

师：必须为所有同学点赞！谁能小结一下刚才讨论中的收获？

三、教后之思

子曰：“不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也。”意思是说，学生未到苦思而不得其解的时候，不去开导他，不到欲言却不得要领的地步，不去启发他。学生如果不能举一反三，教师就不要再反复地给他举例了。当学生真正沉浸于学习过程时，各种教学资源自然纷至沓来，教师便只需不失时机地提问、引导、点拨即可。

教不能预设到所有的错，学生犯错也不必大惊小怪。能研究“错”、纠正“错”，进而从“错”中汲取经验和智慧，就是化错为宝了。对这道错例的讲评，往简单里想，不超过2分钟。而笔者却设计了6个环节，足足用了20多分钟，再加上课前的思考时间，可谓高成本投入，明显是把易事往难里做，采用的是“难教之法”。为什么要这样做？根本的原因就是，只有教师“难了”，学生才能“易学”。

学生正确解决上述案例中的问题，不只是写出一个表达式那么简单，而是需要综合调取多方面的知识，并使之融入思考。如位值制的概念、字母式的意义及表达、问题解决的策略、对结果适洽性的反思等。稍有疏忽，都不能正确地表达。如果教师不去思考知识产生背后的逻辑与意义，不去思考学习过程的连续性特点，而只是进行知识的复制搬移，学习就会变得无效而又无趣。

很多教师长挂在嘴边的一句话是“我已经讲了n遍了，你怎么还不会呢？”教师讲完一遍，就指望几十个小脑袋瓜齐刷刷地“立马会了”，这其实不太可能。想明白了，不代表就能做对；课上会了，不代表课后就会；今天懂了，明天还有可能遗忘。教师需要常常躬身自省，始终敬畏学习，不要把教学这件事简单化地处理。

“难教之法”不是故作高深，刻意作难，而是指教师要探明学习者的已有经验，理解其学习的“痛点”，精心设计教学流程和补偿策略，科学施教，精准干预。“教”应该尽可能走在“学”的前面。即如，上述案例中为什么要引入小棒和计数器呢？为什么要求学生先用小棒摆，再用计数器拨？两者的教学顺序能否颠倒？用小棒摆和用计数器拨，是“做数学”教学理念使然，可将思维可视化，帮助学生积累更加充分的感知。用小棒摆出“23”，“2”通常摆成2捆，“3”通常摆成3根，合起来就是“23”，比较形象直观；而计数器上有数位标识，拨珠表示“23”，比摆小棒相对抽象一些，也更接近符号化的“23”。引领学生经历“摆小棒”、“拨数珠”的过程，就是感受“位值制”特点的过程，这样得出的“数在哪一位上，就可表示为用这个数乘它的计数单位”便不那么勉强。“难教”之路，短期看效率低，还有小题大做之嫌；但长远地看，有助于学生举一反三、触类旁通，效率反而是高的。常走“难教”之路，有助于唤起我们对知识和学习的敬畏之心，是专业成长的自我要求和必然选择。

“难教之法”不是云山雾罩，不好捉摸，而是要求教师以儿童视角，不断更新观念，重塑流程，让学生置身于问题情境，以鲜活的材料、挑战性的任务，推进课堂进程，引发新的学习可能。上述案例中，笔者任教班级有超过三分之二的学生做对了，为什么还要如此“煞费苦心”地设计相关教学活动呢？这样做，能让全体学生都会受益吗？同伴互助，教学相长，每个学习者都能在原有基础上获得不同的教益，这是教学的应有之义。教学中，笔者通过“你能出一道类似的习题考一考大家吗”，点燃学生的思维火花。交流中，有的习题是“高仿”，有的习题是“变异”，有的习题是“进阶”，但都不约而同地指向“位值制”概念的本质。学生出题学生做，自己挖了陷阱又填坑。如此，原来不懂的会了，原来理解的更透彻了，每个学习者都在现场建构了属于自己的故事。原来，学习的快乐并不是一味地轻松，而应是经历困顿、犹豫、思辨、解惑后的拨云见日。常走“难教”之路，有助于引发深度学习，是促进理解的有效路径。

每个学生的已有经验和认知方式不同，学习困扰也不尽相同。教师要探明学生的已有经验，顺学而教，把他们共同缺欠的知识有机地嵌入到教学活动之中，以实现弥补缺失，联结经验，建立新的理解的目的。“难教”之路并非坦途，不会一帆风顺，需要教师提升认知，抵制慵懒，“朝抵抗力最大的路径走”。

《道德经》有云：“天下难事必作于易，天下大事必作于细。”意思是说，难事要从容易处起步，大事可从细微处着手。所以，凡事皆可辩证地看，把易事往难里想，将小事朝大里做，走一条别人不常走的教学路，所得收获一定令人惊喜。